Question

【題目】如圖1，在三角形中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到,連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（特例嘗試）如圖2，當(dāng)時(shí)，

①求證：；

②猜想與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

（理想論證）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，②中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)給予證明.

（拓展應(yīng)用）如圖3，直線(xiàn)與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)，分別以，為直角邊在第二、一象限內(nèi)作等腰和等腰，連接，交軸于點(diǎn).試猜想的長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】[特例嘗試]①見(jiàn)解析，②，理由見(jiàn)解析；[理想論證]成立，證明見(jiàn)解析；[拓展應(yīng)用]是定值，.

【解析】

[特例嘗試]①根據(jù)垂直的定義可得∠BAD=∠CAE=90°，用360°減去其它三個(gè)角即可證得；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAC≌△DAE(SAS)，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC=DE,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等結(jié)合同角的余角相等可證∠DAG=∠EDA，根據(jù)等角對(duì)等邊可證DG=AG，同理證明GE=AG即可證明；

[理想論證]過(guò)點(diǎn)作,交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做,交于點(diǎn)，通過(guò)證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證；

[拓展應(yīng)用]利用一次函數(shù)求得AO的長(zhǎng)度，結(jié)合[理想論證]可知.

[特例嘗試]①證明：∵BA⊥AD,AC⊥AE

∴∠BAD=∠CAE=90°，

又∵

∴

②，證明如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB，AE=AC，

又∵，

∴△BAC≌△DAE(SAS)

∴∠EDA=∠CBA,∠DEA=∠BCA，BC=DE，

∵GF⊥BC，

∴∠CAF+∠ACB=90°，∠ABC+∠ACB=90°

∴∠ABC=∠CAF=∠DAG=∠EDA,

∴DG=AG，

同理可證GE=AG,

∴.

[理想論證]成立，理由如下：

過(guò)點(diǎn)作,交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做,交于點(diǎn).

∵

∴,

∵

∴

∴

∵

∴

∴,

同理可得,

∴

∵

∴

∴

∵

∴

[拓展應(yīng)用]對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)y=0時(shí)，即，

解得,

∴,

由題[理想論證]可知.