Question

15．你會(huì)求（a-1）（a²⁰¹²+a²⁰¹¹+a²⁰¹⁰+…+a²+a+1）的值嗎？這個(gè)問(wèn)題看上去很復(fù)雜，我們可以先考慮簡(jiǎn)單的情況，通過(guò)計(jì)算，探索規(guī)律：
$\begin{array}{l}（a-1）（a+1）={a^2}-1\\（a-1）（{a^2}+a+1）={a^3}-1\\（a-1）（{a^3}+{a^2}+a+1）={a^4}-1\end{array}$
（1）由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想，得到（a-1）（a²⁰¹⁴+a²⁰¹³+a²⁰¹²+…+a²+a+1）=a²⁰¹⁵-1
利用上面的結(jié)論，求：
（2）2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值是2²⁰¹⁵-1．
（3）求5²⁰¹⁴+5²⁰¹³+5²⁰¹²+…+5²+5+1的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，即可得出答案；
（2）先變形，再根據(jù)規(guī)律得出答案即可；
（3）先變形，再根據(jù)算式得出即可．

解答 解：（1）（a-1）（a²⁰¹⁴+a²⁰¹³+a²⁰¹²+…+a²+a+1）
=a²⁰¹⁵-1，
故答案為：a²⁰¹⁵-1；

（2）2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1
=（2-1）×（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁵-1，
故答案為：2²⁰¹⁵-1；

（3）5²⁰¹⁴+5²⁰¹³+5²⁰¹²+…+5²+5+1
=$\frac{1}{4}$×（5-1）×（5²⁰¹⁴+5²⁰¹³+5²⁰¹²+…+5²+5+1）
=$\frac{{5}^{2015}-1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，能根據(jù)題目中的算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，難度適中．