Question

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，
①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（友情提示：連接CF并延長(zhǎng)，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G）
②當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，連接CF，求tan∠DCF的值．

Answer 1

分析 （1）在直角△BCE中利用三角函數(shù)即可求解；
（2）①連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明△AFG≌△CFD得到CF=GF，AG=CD，在△AFG中利用外角的性質(zhì)即可求解；
②連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答 解：（1）∵在直角△BCE中，sin∠ABC=$\frac{CE}{BC}$，
∴CE=5$\sqrt{3}$；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：
連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵F為AD的中點(diǎn)，
∴AF=FD．
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF．
在△AFG和△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DCF}\\{∠AFG=∠DFC}\\{AF=FD}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CFD（AAS）．
∴CF=GF，AG=CD．
∵CE⊥AB，F(xiàn)是GC邊中點(diǎn)．
∴EF=GF．
∴∠AEF=∠G．
∵AB=5，BC=10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，
∴AG=5，AF=AD=BC=5．
∴AG=AF．
∴∠AFG=∠G．
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，
∴∠CFD=∠AEF．
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF．
（2）連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
在直角△BCE中，BC=10，BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
則CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{15}}{2}$，
∵F為AD的中點(diǎn)，AF∥BC，
∴A是BG的中點(diǎn)，則BG=2AB=10，
∴EG=BG-BE=10-$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$．
又∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠G，
∴tan∠DCF=tan∠G=$\frac{CE}{GE}$=$\frac{5\sqrt{15}}{15}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)和三角形的外角的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．