Question

如圖1，小紅家陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB．CD相交于點(diǎn)O，B．D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開(kāi)，扣鏈EF成一條直線，且EF＝32 cm．

(1)求證：AC∥BD；

(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)(精確到0.1°)；

(3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到122 cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科學(xué)記算器)

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)等角對(duì)等邊得出∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)和∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)，進(jìn)而利用平行線的判定得出即可； 　　(2)首先作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM＝16 cm，利用cos∠OEF＝0.471，即可得出∠OEF的度數(shù)； 　　(3)首先證明Rt△OEM∽R(shí)t△ABH，進(jìn)而得出AH的長(zhǎng)即可． 　　解答：(1)證明：證法一：∵AB．CD相交于點(diǎn)O， 　　∴∠AOC＝∠BOD；1分 　　∵OA＝OC， 　　∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)， 　　同理可證：∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)， 　　∴∠OAC＝∠OBD，2分 　　∴AC∥BD，3分 　　證法二：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm， 　　∴OB＝OD＝85 cm， 　　∴；1分 　　又∵∠AOC＝∠BOD 　　∴△AOC∽△BOD， 　　∴∠OAC＝∠OBD；2分 　　∴AC∥BD；3分； 　　(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34 cm，EF＝32 cm； 　　作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM＝16 cm；4分 　　∴cos∠OEF＝0.471，5分 　　用科學(xué)記算器求得∠OEF＝61.9°；6分； 　　(3)解法一：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；7分 　　在Rt△OEM中，＝30 cm；8分， 　　過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H， 　　同(1)可證：EF∥BD， 　　∴∠ABH＝∠OEM，則Rt△OEM∽R(shí)t△ABH， 　　∴；9分 　　所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122 cm＞曬衣架的高度AH＝120 cm． 　　解法二：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；7分 　　同(1)可證：EF∥BD，∴∠ABD＝∠OEF＝61.9°；8分 　　過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，在Rt△ABH中 　　， 　　AH＝AB×sin∠ABD＝136×sin61.9°＝136×0.882≈120.0 cm；9分 　　所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122 cm＞曬衣架的高度AH＝120 cm． 　　點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形利用銳角三角函數(shù)解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

提示：

相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用．