Question

（2012•龍巖模擬）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-2），B（3，-1）
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)問(wèn)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)?jiān)趫D（2）上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB是等腰三角形？若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)Q共有幾個(gè)可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）將已知的點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得b、c的值，進(jìn)而確定拋物線的解析式；用配方法或公式法求得其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，F(xiàn)E=

3

4

；從而得到S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=

15

16

．然后延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)G，直線AB的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-

5

2

），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，h），最后分當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí)兩種情況求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）分別以AB為底邊時(shí)、以AB為腰以B為頂點(diǎn)時(shí)、以AB為腰以A為頂點(diǎn)時(shí)三種情況討論即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)l₂的解析式為y=-x²+bx+c，聯(lián)立方程組：

-1+b+c=-2 -9+3b+c=-1

解得得：b=

9

2

，c=-

11

2

，
則l₂的解析式為y=-x²+

9

2

x-

11

2

=-（x-

9

4

）²-

7

16

．
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

9

4

，-

7

16

）．

（2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，
則AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，F(xiàn)E=

3

4

．
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=

15

16

．
延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)G，直線AB的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-

5

2

），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，h），
①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)，PG=-

5

2

-h，連接AP、BP，
則S_△ABP=S_△BPG-S_△APG=-

5

2

-h，又S_△ABC=S_△ABP=

15

16

，得h=-

55

16

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

55

16

）．
②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí)，PG=

5

2

+h，同理h=-

25

16

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

25

16

）．
綜上所述所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

55

16

）或（0，-

25

16

）（7分）

（3）作圖痕跡如答圖2所示．
由圖可知，
當(dāng)以AB為腰以A為頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB為半徑畫圓與拋物線交與Q₁；
當(dāng)以AB為腰以B為頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)b為圓心，以AB為半徑畫圓與拋物線交與Q₂；
當(dāng)以AB為底邊時(shí)，作AB的垂直平分線交拋物線于Q₃，Q₄；
故滿足條件的點(diǎn)有Q₁、Q₂、Q₃、Q₄，共4個(gè)可能的位置．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，難度相對(duì)比較大．特別是本題中討論等腰三角形的個(gè)數(shù)時(shí)更容易漏掉．