Question

如圖（1），BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交于M、N。

（1）試說(shuō)明：FG=（AB+BC+AC）；

（2）①如圖（2），BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線；②如圖（3），BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線。

則在圖（2）、圖（3）兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況說(shuō)明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵AF⊥BD  ∠ABF=∠MBF    ∴∠BAF=∠BMF  ∴MB=AB

∴AF=MF     同理可說(shuō)明：CN=AC，AG=NG

∴ FG是△AMN的中位線

∴ FG=MN=（MB＋BC＋CN）=（AB＋BC＋AC）

（2）圖（2）中，F(xiàn)G=（AB＋AC－BC）   

圖（3）中，F(xiàn)G=（AC＋BC－AB）    

①如圖（2），延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交于M、N，由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG  ∴FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB＋AC－BC）

②如圖（3）延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交于M、N，同樣由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG  ∴FG=MN=（CN＋BC－BM）=（AC＋BC－AB）  

【解析】（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，進(jìn)一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；

（2）延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交于M、N，與（1）類似可以證出答案；

（3）與（1）方法類同即可證出答案．