Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x 軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作圓P。
（1）連結(jié)PA，若PA=PB，試判斷OP與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，以圓P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？

Answer 1

解：（1）⊙P與x軸相切，
理由：直線y=-2x-8與x軸交于A（-4，0），與y軸交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8，
由題意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k，
在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²，
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半徑，
∴⊙P與x軸相切；
（2）設(shè)⊙P與直線l交于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)PC，PD，
當(dāng)圓心P在線段OB上時(shí)，作PE⊥CD于E，
∵△PCD為正三角形，
∴DE=CD=，PD=3，
∴PE=
∵∠AOB=∠PEB= 90°，∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB，
∴，
即
 ∴PO=BO-BP=
當(dāng)圓心P在線段OB延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得
∴，
∴當(dāng)或
以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形。