Question

已知拋物線y=ax²+2x+c的圖象與x軸交于點A（3，0）和點C，與y軸交于點B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出點D的坐標；

（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．.

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點．為求D點坐標，需先求出直線AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D點坐標；

（3）本問關(guān)鍵是求出△ABP的面積表達式．這個表達式是一個關(guān)于P點橫坐標的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點的坐標．

解答：

解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c的圖象經(jīng)過點A（3，0）和點B（0，3），

∴，解得a=﹣1，c=3，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+2x+3．

（2）對稱軸為x==1，

令y=﹣x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=﹣1，∴C（﹣1，0）．

如圖1所示，連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點，由于A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱，則此時DB+DC=DB+DA=AB最�。�

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

，解得k=﹣1，b=3，

∴直線AB解析式為y=﹣x+3．

當x=1時，y=2，∴D點坐標為（1，2）．

（3）結(jié)論：存在．

如圖2所示，設(shè)P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，

過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．

S_△ABP=S_梯形PNOB+S_△PNA﹣S_△AOB

=（OB+PN）•ON+PN•AN﹣OA•OB

=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3

=（x+y）﹣，

∵P（x，y）在拋物線上，∴y=﹣x²+2x+3，代入上式得：

S_△ABP=（x+y）﹣=﹣（x²﹣3x）=﹣（x﹣）²+，

∴當x=時，S_△ABP取得最大值．

當x=時，y=﹣x²+2x+3=，∴P（，）．

所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；P點的坐標為（，）．