Question

已知直線y=kx+m與拋物線y=-x²+bx+c（b＜0）相交于A，B兩點，且點A在x軸的正半軸上，點B在y軸上，設(shè)點A橫坐標為m，拋物線的頂點縱坐標為n．
（1）求k的值；
（2）當m＜2時，試比較n與b+m-k的大�。�

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）將點A（m，0）代入直線y=kx+m得：y=km+m=0，即可求出k=-1；
（2）將k=-1代入y=kx+m得到直線為y=-x+m，求出與y軸的交點B為（0，m），將點A和點B代入拋物線得出0＜m＜1，那么n=

1

4

b²+c=[

1

2

（m+1）]²，b-k+m=m-1-（-1）+m=2m，于是n-（b-k+m）=

1

4

（m+1）²-2m=

1

4

（m²+2m+1-8m）=

1

4

（m²-6m+1）=

1

4

[（m-3）²-8]，由0＜m＜1，解方程（m-3）²-8=0得：m=3-2

2

，進而求解．

解答：解：（1）點A（m，0），并且m＞0，
代入直線y=kx+m得：y=km+m=0，
解得：k=-1；

（2）直線為y=-x+m，
與y軸的交點B（0，m）．
拋物線y=-x²+bx+c開口向下，對稱軸x=

b

2

＜0，
頂點為（

b

2

，

1

4

b²+c），
所以：n=

1

4

b²+c，
點A和點B代入拋物線得：
y（0）=-0+0+c=m＞0，
y（m）=-m²+bm+c=0，
解得：b=m-1＜0，c=m＞0，
所以：0＜m＜1，
所以：n=

1

4

b²+c=

1

4

（m-1）²+m=

1

4

（m+1）²=[

1

2

（m+1）]²，
所以：b-k+m=m-1-（-1）+m=2m，
所以：n-（b-k+m）=

1

4

（m+1）²-2m=

1

4

（m²+2m+1-8m）=

1

4

（m²-6m+1）=

1

4

[（m-3）²-8]，
因為：0＜m＜1，
解（m-3）²-8=0得：m=3-2

2

，
所以：0＜m＜3-2

2

時，n＞b-k+m；
m=3-2

2

時，n=b-k+m；
3-2

2

＜m＜1時，n＜b-k+m．

點評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的性質(zhì)，有一定難度．（2）中求出0＜m＜1是解題的關(guān)鍵．