Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=3

5

，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，AD=2

3

，點M、N分別是BC、AD的中點，求MN的長．

Answer 1

考點：勾股定理,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：連AM，因∠BAC=90°，∠BDC=90°，故A，D，B，C四點共圓，M為圓心，BC為直徑，又因NAD的中點，故MN⊥平分AD，AN=

1

2

2AD=

3

，又因∠ABC=30度，AB=3

5

，故BC=2

15

，即AM=

1

2

BC=

15

，所以利用勾股定理可得MN²=AM²-AN²=15-3=12，即MN=2

3

，問題得解．

解答：解：連AM，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴A，D，B，C四點共圓，M為圓心，BC為直徑，
又∵NAD的中點，
∴MN⊥平分AD，AN=

1

2

2AD=

3

，
∵∠ABC=30°，AB=3

5

，
∴BC=2

15

，即AM=

1

2

BC=

15

，
∴MN²=AM²-AN²=15-3=12，
∴MN=2

3

．

點評：本題考查了勾股定理的運用、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及圓周角定理的運用，題目的綜合性較強，難度中等．