Question

4．如圖，高36米的樓房AB正對(duì)著斜坡CD，點(diǎn)E在斜坡CD的中點(diǎn)處，已知斜坡的坡角（即∠DCG）為30°，AB⊥BC．
（1）若點(diǎn)A、B、C、D、E、G在同一個(gè)平面內(nèi)，從點(diǎn)E處測(cè)得樓頂A的仰角α為37°，樓底B的俯角β為24°，問點(diǎn)A、E之間的距離AE長(zhǎng)多少米？（精確到十分位）
（2）現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)E處挖去部分斜坡，修建一個(gè)平行于水平線BC的平臺(tái)EF和一條新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比為$\sqrt{3}$：1．某施工隊(duì)承接這項(xiàng)任務(wù)，為盡快完成任務(wù)，增加了人手，實(shí)際工作效率提高到原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建多少米？
（參考數(shù)據(jù)：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)FE交AB于M，設(shè)ME=x，根據(jù)直角三角形函數(shù)得出AM=tanα•x，BM=tanβ•x，然后根據(jù)tanα•x+tanβ•x=36，即可求得EM的長(zhǎng)，然后通過余弦函數(shù)即可求得AE；
（2）根據(jù)BM=NG=DN，得到DN的長(zhǎng)，然后解直角三角形函數(shù)求得EN和FN，進(jìn)而求得EF和DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)題意列出方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）延長(zhǎng)FE交AB于M，
∵EF∥BC，
∴MN⊥AB，MN⊥DG，
設(shè)ME=x，
∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，
∵AB=36，
∴tanα•x+tanβ•x=36，
∴tan37°x+tan24°x=36，
0.75x+0.45x=36，
解得x=30，
∴AE=$\frac{EM}{cos37°}$=$\frac{30}{0.80}$≈37.5（米）；
（2）延長(zhǎng)EF交DG于N，
∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC，
∴DN=GN=13.5（米），
∵∠DCG=30°，
∴∠DEN=30°，
∴EN=DN•cot30°=13.5×$\sqrt{3}$，
∵$\frac{DN}{FN}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$，
∴∠DFN=60°，
∴∠EDF=30°，F(xiàn)N=DN•cot60°=13.5×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=EF=EN-FN=13.5×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EF+DF=27×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=18$\sqrt{3}$，
設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建y米，
根據(jù)題意得，$\frac{18\sqrt{3}}{y}$=$\frac{18\sqrt{3}}{1.5t}$+2，
解得y=3$\sqrt{3}$（米），
經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，
答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建3$\sqrt{3}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，題目中涉及到了仰俯角和坡度角的問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．