Question

如圖，已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，E、F分別在OA、OC上，且OA=4，OE=2，將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE₁F₁的位置，連結(jié)CF₁，AE₁。
（1）求證：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，請求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC為正方形，
∴OC=OA
∵三角板OEF是等腰直角三角形，
∴
又三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置時(shí)， 
∴；
（2）存在，
∵，
∴過點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，
又當(dāng)三角板OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，則點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以O(shè)F為半徑的圓上，，
∴過點(diǎn)F與OF垂直的直線必是圓O的切線，又點(diǎn)C是圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為和
此時(shí)，E點(diǎn)分別在E₁點(diǎn)和E₂點(diǎn)，滿足，

當(dāng)切點(diǎn)F₁在第二象限時(shí)，點(diǎn)E₁在第一象限，
在直角三角形中，
 
∴
∴
∴點(diǎn)E₁的橫坐標(biāo)為：
點(diǎn)E₁的縱坐標(biāo)為：
∴點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為，
當(dāng)切點(diǎn)F₂在第一象限時(shí)，點(diǎn)E₂在第四象限，同理可求：點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為，
綜上所述，三角板OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個(gè)位置，使得，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為或。