Question

矩形ABCD紙片的邊AB長(zhǎng)為2cm，動(dòng)直線l分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，且EF∥AB；
（1）若直線l是矩形ABCD的對(duì)稱軸，且沿著直線l剪開后得的矩形EFCD與原矩形ABCD相似，試求AD的長(zhǎng)？
（2）若使AD=+1cm，試探究：在AD邊上是否存在點(diǎn)E，使剪刀沿著直線l剪開后，所得到的小矩形紙片中存在與原矩形ABCD相似的情況．若存在，請(qǐng)求出AE的值，并判斷E點(diǎn)在邊AD上位置的特殊性；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴=，
又∵CD=AB=2，可設(shè)AD=2CF=2x，
∴=，
則：x=，
故：AD=2．

（2）假設(shè)存在矩形EFCD與矩形ABCD相似；
則DC必與AD對(duì)應(yīng)，ED必與DC對(duì)應(yīng)，
有：=，
∴DC²=AD•ED，
又∵DC=2cm，AD=+1cm，
∴ED===-1（cm）
∴AE=AD-（-1）=2，
而AE=2＞-1=ED，
依據(jù)對(duì)稱性考慮，必定存在當(dāng)AE=-1時(shí)，使矩形EFBA與矩形ABCD相似的情形，
綜上述：當(dāng)AE=-1或2時(shí)，在剪開所得到的小矩形紙片中必存在與原矩形相似；
且該兩種情形中，E剛好是邊AD的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)．
分析：（1）先根據(jù)矩形EFCD∽矩形CBAD可得出兩矩形的對(duì)應(yīng)邊成比例，再AD=2CF=2x，把CD、AB的值代入關(guān)系式即可得出x的值，進(jìn)而可求出AD的值；
（2）假設(shè)存在矩形EFCD與矩形ABCD相似，則DC必與AD對(duì)應(yīng)，ED必與DC對(duì)應(yīng)，由相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出ED的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例．