Question

2．在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”．
（1）求直線y=-x+2與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形中（含邊界），所有“好點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（2）求證：函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為正整數(shù)）的圖象上必定含有偶數(shù)個(gè)“好點(diǎn)”；
（3）若二次函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+2k-1的圖象與x軸相交得到兩個(gè)不同的“好點(diǎn)”，試問該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個(gè)“好點(diǎn)”？

Answer 1

分析 （1）畫出直線y=-x+2的圖象，直接由圖象得出“好點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，直接得出結(jié)論；
（3）由題意利用根與系數(shù)的關(guān)系得出得$\frac{ax}{（x+1）^{2}}+\frac{x+1}+\frac{c}{x}$=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}+2}+\frac{x+1}+\frac{c}{x}$求出x₁，x₂，進(jìn)而求出k，驗(yàn)證滿足△=（2k+1）²-4k（2k-1）=-4k²+8k+1＞0，最后分兩種情況討論計(jì)算．

解答 解：（1）如圖，

由直線y=-2+2的圖象得出它與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形中（含邊界），
所有“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0，0），（1，0），（2，0），（0，1），（0，2），（1，1），
（2）∵k為正整數(shù)，k=xy，
∴k至少能夠分解成一組兩個(gè)正整數(shù)的乘積，
∴在$y=\frac{k}{x}$位于第一象限的圖象上至少有一個(gè)“好點(diǎn)”，
∵雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為正整數(shù)）的圖象上必定含有偶數(shù)個(gè)“好點(diǎn)”，
（3）∵二次函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+2k-1的圖象與x軸相交得到兩個(gè)不同的“好點(diǎn)”，
∴當(dāng)k≠0時(shí)，關(guān)于x的二次方程kx²+（2k+1）x+2k-1=0有兩個(gè)不等的整數(shù)根x₁，x₂，
∴△=（2k+1）²-4k（2k-1）=-4k²+8k+1＞0，①
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，$\frac{ax}{（x+1）^{2}}+\frac{x+1}+\frac{c}{x}$=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}+2}+\frac{x+1}+\frac{c}{x}$②
消去k得，（x₂-1）（x₁-1）=5，
∵x₂，x₁是整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=1}\\{{x}_{1}-1=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=5}\\{{x}_{1}-1=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=-1}\\{{x}_{1}-1=-5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-1=-5}\\{{x}_{1}-1=-1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=6}\\{{x}_{1}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{x}_{1}=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，∴k=-$\frac{1}{10}$或k=$\frac{1}{2}$，
而k=-$\frac{1}{10}$或k=$\frac{1}{2}$時(shí)，均滿足△＞0，
①當(dāng)時(shí)$k=-\frac{1}{10}$，此時(shí)$y=-\frac{1}{10}{x^2}+\frac{4}{5}x-\frac{6}{5}=-\frac{1}{10}（x-2）（x-6）=\frac{2}{5}-\frac{1}{10}{（x-4）^2}$．
由其圖象可以得到：其圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有5個(gè)“好點(diǎn)”．
②當(dāng)時(shí)$k=\frac{1}{2}$，此時(shí)$y=\frac{1}{2}{x^2}+2x=\frac{1}{2}（x+4）x=\frac{1}{2}{（x+2）^2}-2$．
由其圖象可以得到：其圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有9個(gè)“好點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義的理解，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解本題的根據(jù)是理解并靈活運(yùn)用新定義．