Question

【題目】定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓．

如圖所示，已知：⊙I是△ABC的BC邊上的旁切圓，E、F分別是切點(diǎn)，AD⊥IC于點(diǎn)D．

（1）試探究：D、E、F三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論．

（2）設(shè)AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面積之比等于m，，試作出分別以 , 為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程．

Answer 1

【答案】(1) D、E、F三點(diǎn)是同在一條直線上．(2) 6x2﹣13x+6=0．

【解析】

（1）利用切線長定理及梅氏定理即可求證；

（2）利用相似和韋達(dá)定理即可求解.

解：（1）結(jié)論：D、E、F三點(diǎn)是同在一條直線上．

證明：分別延長AD、BC交于點(diǎn)K，

由旁切圓的定義及題中已知條件得：AD=DK，AC=CK，

再由切線長定理得：AC+CE=AF，BE=BF，

∴KE=AF．∴，

由梅涅勞斯定理的逆定理可證，D、E、F三點(diǎn)共線，

即D、E、F三點(diǎn)共線．

（2）∵AB=AC=5，BC=6，

∴A、E、I三點(diǎn)共線，CE=BE=3，AE=4，

連接IF，則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四點(diǎn)共圓．

設(shè)⊙I的半徑為r，則：，

∴，即，，

∴由△AEF∽△DEI得：

，

∴．

∴，

因此，由韋達(dá)定理可知：分別以、為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程是6x2﹣13x+6=0．