Question

如圖（1），Rt△ABC中，AB=BC，點D在AC上，DE⊥AC交AB于點E，點M為CE的中點．

（1）求證：△MBD是等腰三角形；
（2）將△DEA繞點A逆時針旋轉，使點D落在AB上，如圖（2）中的“△MBD為等腰直角三角形”仍然成立嗎？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵ED⊥AC，

∴∠EDC=90°，

∵點M為CE的中點，

∴DM=EC，
∵∠ABC=90°，

∴BM=EC，

∴DM=BM，

∴△MBD是等腰三角形；


（2）解：△MBD為等腰直角三角形．理由如下：

延長DM交BC于H，如圖，
∵DE⊥AB，BC⊥AB，

∴DE∥BC，

∴∠MED=∠MCH，

在△MHC和△MDE中

，

∴△MHC≌△MDE（AAS），

∴CH=DE，MD=MH，

∵△ADE為等腰直角三角形，

∴DE=AD，

∴AD=CH，
而BA=BC，

∴BD=BH，

∴MB為等腰直角△BDH斜邊上的中線，
∴MB=MD=MH，

∴△MBD為等腰直角三角形．
分析：（1）根據題意得到DM、BM分別為Rt△EDC、Rt△BEC斜邊上的中線，則DM=EC，BM=EC，所以DM=BM；
（2）延長DM交BC于H，由于DE⊥AB，BC⊥AB，則DE∥BC，所以∠MED=∠MCH，根據“AAS”可判斷△MHC≌△MDE，則CH=DE，MD=MH，利用DE=AD得到AD=CH，于是MB為等腰直角△BDH斜邊上的中線，所以MB=MD=MH．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰三角形的性質．也考查了等腰直角三角形的性質以及直角三角形斜邊上的中線性質．