Question

如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=5．
（1）試說明AE²+CF²的值是一個常數(shù)；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時，線段DM最長？并求出此時DM的值．
（3）在（2）的情況下，BC邊上是否存在一點N，使△PMN的周長最短？若不存在說明理由；若存在，請確定點N距點B的距離．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC=AD=5，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABE=∠BCF，于是可根據(jù)“AAS”判斷△ABE≌△BCF，則CF=BE，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得AE²+BE²=AB²=5²，所以AE²+CF²=25；
（2）設AP=x，則PD=5-x，先證明Rt△PDM∽Rt△BAP，利用相似比得DM=-

1

5

x²+x，然后配方得DM=-

1

5

（x-

5

2

）²+

5

4

，所以當x=

5

2

時，DM最大，最大值為

5

4

；
（3）延長DC到Q使CQ=CM，連接PQ交BC于N，連接MN，如圖1，MC=DC-DM=

15

4

，CQ=

15

4

，且△PMN的周長=PM+MN+PN，而PM為定值，所以MN+PN最小時，△PMN的周長最小，由于CQ=CM，NC⊥MQ，得到NC為MQ的中垂線，則NQ=NM，得到MN+PN=NQ+PN=PQ，此時MN+PN最小，△PMN的周長最小，再證明△QCN∽△QDP，利用相似比計算出NC=

15

14

，然后利用BN=BC-CN求解．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=AD=5，∠ABC=90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中

∠AEB=∠BFC ∠ABE=∠BCF AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴CF=BE，
在Rt△ABE中，
∵AE²+BE²=AB²=5²，
∴AE²+CF²=25，即AE²+CF²的值是一個常數(shù)；
（2）設AP=x，則PD=5-x，
∵PM∥FC，
∴PM⊥BP，
∴∠APB+∠DPM=90°，
而∠APB+∠ABP=90°，
∴Rt△PDM∽Rt△BAP，
∴

DM

AP

=

PD

AB

，即

DM

x

=

5-x

5

，
∴DM=-

1

5

x²+x=-

1

5

（x-

5

2

）²+

5

4

，
∵-

1

5

（x-

5

2

）²≤0，
∴當x=

5

2

時，DM最大，最大值為

5

4

，
即點P在AD的中點位置時，線段DM最長，此時DM的值為

5

4

；
（3）存在．
延長DC到Q使CQ=CM，連接PQ交BC于N，連接MN，如圖1，
PD=

5

2

，DM=

5

4

，MC=DC-DM=

15

4

，則CQ=

15

4

△PMN的周長=PM+MN+PN，而PM為定值，則MN+PN最小時，△PMN的周長最小，
∵CQ=CM，NC⊥MQ，
∴NC為MQ的中垂線，
∴NQ=NM，
∴MN+PN=NQ+PN=PQ，此時MN+PN最小，△PMN的周長最小，
∵NC∥PD，
∴△QCN∽△QDP，
∴

NC

PD

=

QC

QD

，即

NC

5 2

=

15 4

5+ 15 4

，
解得NC=

15

14

，
∴BN=BC-CN=5-

15

14

=

55

14

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算；會運用兩點之間線段最短和二次函數(shù)的性質(zhì)數(shù)學問題的最值問題．