Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍的點稱為“理想點”．例如點（-2，-4），（1，2），（3，6）…都是“理想點”，顯然這樣的“理想點”有無數(shù)多個．
（1）若點M（2，a）是“理想點”，且在正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）圖象上，求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）函數(shù)y=3mx-1（m為常數(shù)，且m≠0）的圖象上存在“理想點”嗎？若存在，請用含m的代數(shù)式表示出“理想點”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“理想點”，確定a的值，即可確定M點的坐標(biāo)，代入正比例函數(shù)解析式，即可解答；
（2）假設(shè)函數(shù)y=3mx-1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），則有3mx-1=2x，整理得：（3m-2）x=1，分兩種情況討論：當(dāng)3m-2≠0，即m≠$\frac{2}{3}$時，解得：x=$\frac{1}{3m-2}$，當(dāng)3m-2=0，即m=$\frac{2}{3}$時，x無解，即可解答．

解答 解：∵點M（2，a）是正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）圖象上的“理想點”，
∴a=4，
∵點M（2，4）在正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）圖象上，
∴4=2k，
解得k=2
∴正比例函數(shù)的解析式為y=2x．
（2）假設(shè)函數(shù)y=3mx-1（m為常數(shù)，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），
則有3mx-1=2x，
整理得：（3m-2）x=1，
當(dāng)3m-2≠0，即m≠$\frac{2}{3}$時，解得：x=$\frac{1}{3m-2}$，
當(dāng)3m-2=0，即m=$\frac{2}{3}$時，x無解，
綜上所述，當(dāng)m≠$\frac{2}{3}$時，函數(shù)圖象上存在“理想點”，為（$\frac{1}{3m-2}$，$\frac{2}{3m-2}$）；
當(dāng)m=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)圖象上不存在“理想點”．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖形上點的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義，確定點的坐標(biāo)．