Question

如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD．
（1）求證：AD=AN； 
（2）若AB=4

2

，ON=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)垂徑定理求出AE的長，設(shè)NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1
連結(jié)AO，則AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理可得出x的值，進而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，
∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE與△ADE中，
∵

∠BAM=∠BAD AE=AE ∠AEN=∠AED

，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD=AN；

（2）解：∵AB=4

2

，AE⊥CD，
∴AE=2

2

，
又∵ON=1，
∴設(shè)NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1
連結(jié)AO，則AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=2

2

，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2

2

）²+（x-1）²=（2x-1）²，解得x=2，
∴r=2x-1=3．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．