Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，把拋物線(xiàn)y=x²先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)y=（x-h）²+k，所得拋物線(xiàn)與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M；
（1）寫(xiě)出h、k的值以及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）判斷三角形BCM的形狀，并計(jì)算其面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，在y軸上找點(diǎn)Q．使點(diǎn)A，B，P，Q組成的四邊形是平行四邊形，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（不用寫(xiě)過(guò)程）
（4）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作正方形APFG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（不寫(xiě)過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）利用拋物線(xiàn)的平移規(guī)律即可求得h和k的值；然后令y=0即可求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先求得點(diǎn)C和點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求得BC、CM及BM的長(zhǎng)，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
（3）分兩AB為邊和AB為對(duì)角線(xiàn)兩種情況討論計(jì)算即可．
（4）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)G在y軸上時(shí)和點(diǎn)F在y軸上時(shí)兩種情況利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)y=（x-1）²-4，
∴h=1，k=-4；
令y=0，即（x-1）²-4=0
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B （3，0），
（2）∵令x=0，得y=（0-1）²-4=-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4）
∴BC=3$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$
∴BC²+MC²=BM²
∴△BMC是直角三角形； 
∴S=$\frac{1}{2}$BC•CM=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3；
（3）由（1）知，拋物線(xiàn)y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
∵點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P（p，p²-2p-3），
∵點(diǎn)Q在y軸上，
∴設(shè)Q（0，m），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，AB的中點(diǎn)M（1，0）
∵點(diǎn)A，B，P，Q組成的四邊形是平行四邊形，
①當(dāng)AB為邊時(shí)，AB∥PQ，AB=PQ，
∴p²-2p-3=m，|p|=4，
Ⅰ、當(dāng)p=4時(shí)，m=5，
∴P（4，5），
Ⅱ、當(dāng)p=-4時(shí)，m=21，
∴P（-4，21）
②當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，
∴p=2，p²-2p-3+m=0，
∴p=2，m=3，
∴P（2，-3），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5），（-4，21）或（2，-3），
（4）①如圖（1），（2）當(dāng)點(diǎn)G在y軸上時(shí)，


由△AOG≌△PHA，
得PH=OA，得y_P=x_A=-1，
∴x²-2x-3=-1，
得x=1±$\sqrt{2}$，
∴P₁（1-$\sqrt{2}$，-1），P₂（1+$\sqrt{2}$，-1）
②如圖（3），

當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，由△AMP≌△FNP，
得PM=PN，得y_P=x_P，
則x²-2x-3=x，
得x=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，x=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍去），
故P₃（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$）．．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要拋物線(xiàn)的平移的性質(zhì)，直角三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想，是一道難度比較大的中考常考題．