Question

如圖，拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)．

(1)求b、c的值；

(2)P為拋物線上的點(diǎn)，且滿足S_△PAB＝8，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)設(shè)拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(－1，0)，B(3，0) 　　∴　　(2分) 　　解之，得　　(4分) 　　∴所求拋物線的解析式為：y＝x2－2x－3 　　(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意，得 　　S△ABC＝×4×|y|＝8　　(5分) 　　∴|y|＝4，∴y＝±4　　(6分) 　　當(dāng)y＝4時(shí)，x2－2x－3＝4　　∴x1＝1＋，x2＝1－　　(7分) 　　當(dāng)y＝－4時(shí)，x2－2x－3＝－4　∴x＝1　　(8分) 　　∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、(1，－4)時(shí)，S△PAB＝8．　　(9分) 　　(3)解法1： 　　在拋物線y＝x2－2x－3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得ΔQAC的周長(zhǎng)最�。�　　(10分) 　　∵AC長(zhǎng)為定值，∴要使ΔQAC的周長(zhǎng)最小，只需QA＋QC最�。� 　　∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x＝1的對(duì)稱點(diǎn)是B(3，0)， 　　∴由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x＝1的交點(diǎn)　　(11分) 　　拋物線y＝x2－2x－3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－3)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx－3． 　　∵直線BC過(guò)點(diǎn)B(3，0)　∴3k－3＝0　∴k＝1．　　(12分) 　　∴直線BC的解析式為y＝x－3　　(13分) 　　∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－2．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，－2)．　　(14分) 　　(3)解法2： 　　在拋物線y＝x2－2x－3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得ΔQAC的周長(zhǎng)最小．　　(10分) 　　∵AC長(zhǎng)為定值，∴要使ΔQAC的周長(zhǎng)最小，只需QA＋QC最�。� 　　拋物線y＝x2－2x－3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－3) 　　∴由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x＝1的交點(diǎn)．　　(11分) 　　∵OC∥DQ，∴ΔBDQ∽ΔBOC．　　(12分) 　　∴，即．∴DQ＝2．　　(13分) 　　∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，－2)．　　(14分)