Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 XOY中，對于任意兩點(diǎn) (,)與 (,)的“非常距離”，給出如下定義： 若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ；若 ，則點(diǎn) 與點(diǎn)的“非常距離”為 .

例如：點(diǎn) (1,2)，點(diǎn) (3,5)，因?yàn)?/span> ，所以點(diǎn) 與點(diǎn) 的“非常距離”為 ，也就是圖1中線段 Q與線段 Q長度的較大值（點(diǎn) Q為垂直于 y軸的直線 Q與垂直于 x軸的直線 Q的交點(diǎn)）。

（1）已知點(diǎn) A(-,0)， B為 y軸上的一個動點(diǎn)，①若點(diǎn) A與點(diǎn) B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點(diǎn) B的坐標(biāo)；②直接寫出點(diǎn) A與點(diǎn) B的“非常距離”的最小值；

（2）已知 C是直線 上的一個動點(diǎn)，①如圖2，點(diǎn) D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn) C與點(diǎn) D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn) C的坐標(biāo)； ②如圖3， E是以原點(diǎn) O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點(diǎn)，求點(diǎn) C與點(diǎn) E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn) E和點(diǎn) C的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）①B（0，2）或（0，﹣2）；②； （2）① , C（﹣， ）;②點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，），E（﹣,）,最小值為1．

【解析】

根據(jù)題目對“非常距離”的定義，即兩點(diǎn)間的“非常距離”是指兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)差的絕對值中的較大者，根據(jù)這個定義即可解答此題.

（1）解：①∵B為y軸上的一個動點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|﹣ ﹣0|= ≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，﹣2）；
②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為

（2）解：①如圖2，

取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答，此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，
∵C是直線y= x+3上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0 ， x0+3），
∴﹣x0= x0+2，
此時，x0=﹣ ，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：|x0|= ，
此時C（﹣ ， ）；
②如圖3，

當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y= x+3垂直的直線上時，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，
設(shè)E（x，y）（點(diǎn)E位于第二象限）．則
，
解得， ，
故E（﹣ ， ）．
﹣ ﹣x0= x0+3﹣ ，
解得，x0=﹣ ，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣ ， ），
最小值為1．