Question

如圖，點(diǎn)A、B、C分別是⊙O上的點(diǎn)，CD是⊙O的直徑，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AP=AC．
（1）若∠B=60°．求證：AP是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E，CD=4，求BE•AB的值．

Answer 1

分析：（1）求出∠ADC的度數(shù)，求出∠P、∠ACO、∠OAC度數(shù)，求出∠OAP=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）求出BD長(zhǎng)，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．

解答：（1）證明：連接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直徑，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA為半徑，
∴AP是⊙O切線．

（2）解：連接AD，BD，
∵CD是直徑，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B為弧CD中點(diǎn)，
∴BD=BC=

4

2

=2

2

，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴

BD

BE

=

AB

BD

，
∴BE•AB=BD•BD=2

2

×2

2

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．