Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點E。

（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（3）若CD=4，AC=4，求垂線段OE的長。

Answer 1

解：（1）連接OC，
∵CD切⊙O于點C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）點O作線段AC的垂線OE，如圖所示

（3）在Rt△ACD中，CD=4，AC=4，
∴AD==8，
∵OE⊥AC，
∴AE=AC=2，
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴，
∴OE=×CD=×4= ，
即垂線段OE的長為。