Question

10．已知，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC．
（1）如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．
①∠DAO的度數(shù)是90°
②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β．
①當(dāng)α，β滿足什么關(guān)系時(shí)，OA+OB+OC有最小值？請?jiān)趫D2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；
②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和為360°計(jì)算即可；
②連接OD，根據(jù)勾股定理解答；
（2）①將△AOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△A′O′C，連接OO′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算．

解答 解：（1）①∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°，
∴∠DAO=360°-60°-90°-120°=90°，
故答案為：90°；
②線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA²+OB²=OC²．
如圖1，連接OD．
∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°．
∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB．
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°．
∴∠DAO=90°．
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
∴OA²+AD²=OD²．
∴OA²+OB²=OC²．
（2）①如圖2，當(dāng)α=β=120°時(shí)，OA+OB+OC有最小值．
作圖如圖2，
如圖2，將△AOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△A′O′C，連接OO′．
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°．
∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，
∠A′O′C=∠AOC．
∴△OC O′是等邊三角形．
∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°．
∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=∠A′O′C=120°．
∴∠BOO′=∠OO′A′=180°．
∴四點(diǎn)B，O，O′，A′共線．
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時(shí)值最��；
②當(dāng)?shù)冗叀鰽BC的邊長為1時(shí)，OA+OB+OC的最小值A(chǔ)′B=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握等邊三角形的三個(gè)角是60°、三條邊相等是解題的關(guān)鍵．