Question

如圖，已知拋物線y=x²+4x+3交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接CA，交拋物線的對稱軸于點D．
（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標．
（2）點M是線段AC下方拋物線上一點，作MN∥y軸，交AC于點N，是否存在點M，使得CN=OM？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）過點B作BF∥y軸，交AC于點F．點P是拋物線上一動點，點Q是直線DE上一動點．是否存在點P，使得A，F(xiàn)，P，Q四點構(gòu)成一個平行四邊形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,存在型,分類討論

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式列式計算即可得解，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點A的坐標；
（2）令x=0求出點C的坐標，從而得到直線AC的解析式，判斷出AC與y軸的夾角度數(shù)，再根據(jù)CN=OM判斷出四邊形MNCO是等腰梯形或平行四邊形，然后寫出直線OM的解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標；
（3）寫出點B的坐標，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，分①點P在對稱軸左邊時求出點P的橫坐標，然后代入二次函數(shù)解析式計算即可求出點P的坐標，②點P在對稱軸右邊時，求出點P的橫坐標，判斷出點P與點C重合，③AF是對角線時，點P為二次函數(shù)的頂點坐標．

解答：解：（1）對稱軸：直線x=-

4

2×1

=-2，
令y=0，則x²+4x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=-3，
所以，A（-3，0）；

（2）存在．
令x=0，則y=3，
所以，點C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=x+3，
∴直線AC與y軸的夾角為45°，
∵CN=OM，
∴四邊形MNCO是等腰梯形或平行四邊形，
當四邊形MNCO是等腰梯形時，直線OM的解析式為y=-x，
聯(lián)立

y=x2+4x+3 y=-x

，
消掉y得，x²+5x+3=0，
解得x₁=

-5+ 13

2

，x₂=

-5- 13

2

（舍去），
y=-x=

5- 13

2

，
此時，點M（

-5+ 13

2

，

5- 13

2

），
當四邊形MNCO是平行四邊形時，直線OM的解析式為y=x，
聯(lián)立

y=x2+4x+3 y=x

，
消掉y得，x²+3x+3=0，
△=3²-4×1×3=-3＜0，
方程無解，
綜上所述，點M（

-5+ 13

2

，

5- 13

2

）；

（3）存在．
由（1）可得點B（-1，0），
①點P在對稱軸左邊時，點P的橫坐標為-3-1=-4，
點P的縱坐標為y=（-4）²+4×（-4）+3=3
∴P₁（-4，3），
②點P在對稱軸右邊時，點P的橫坐標為-1+1=0，
此時，點P與點C重合，A、F、P、Q四點共線，不能構(gòu)成平行四邊形，
③AF是對角線時，∵A（-3，0），B（-1，0），
∴點D是AF的中點，
∴點P在直線QD上，
即點P在對稱軸上，
∴點P為二次函數(shù)的頂點坐標，
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴二次函數(shù)頂點坐標為（-2，-1），
∴點P₂（-2，-1），
綜上所述，P₁（-4，3），P₂（-2，-1）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對稱軸公式，二次函數(shù)與坐標軸的交點的求法，等腰梯形的兩腰相等，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，難點在于（3）要分情況討論．