Question

12．已知，如圖1，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸正半軸上，∠OAB、∠OBA的平分線相交于點(diǎn)E，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、C．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）如圖2，過(guò)E作PE⊥AC交y軸于P，交x軸于Q，連CQ，求∠PCQ與∠ABO的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠AEB的度數(shù)；
（2）先連接OE，根據(jù)點(diǎn)E是△ABO的內(nèi)心，以及C、O、Q、E四點(diǎn)共圓，求得∠EOQ=∠ECQ=45°，再根據(jù)∠CED=∠AEB=135°，得出∠ECQ+∠CED=180°，進(jìn)而判定CQ∥BD，得出∠PCQ=∠OBD，最后得到∠PCQ=$\frac{1}{2}$∠ABO．

解答 解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵∠OAB、∠OBA的平分線相交于點(diǎn)E，
∴∠EBA+∠EAB=$\frac{1}{2}$∠ABO+$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠BAO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴△ABE中，∠AEB=180°-45°=135°；

（2）如圖2，連接OE，則根據(jù)點(diǎn)E是△ABO的內(nèi)心可得，OE平分∠AOB，
∴∠EOA=45°，
∵PE⊥AC于E，∠COQ=90°，
∴C、O、Q、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EOQ=∠ECQ=45°，
∵∠CED=∠AEB=135°，
∴∠ECQ+∠CED=180°，
∴CQ∥BD，
∴∠PCQ=∠OBD，
又∵∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠PCQ=$\frac{1}{2}$∠ABO．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用四點(diǎn)共圓進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角；將四點(diǎn)連成一個(gè)四邊形，若對(duì)角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)共圓．