Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對稱中心的對稱點(diǎn)， HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP的長為x，△HDE的面積為y．

（1）求證：△DHQ∽△ABC；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？

Answer 1

（1）∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，…………………………………………………………………………3分
∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1分

（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，
ED=，QH=，
此時(shí)． …………………………………………3分
當(dāng)時(shí)，最大值．
②如圖2，當(dāng)時(shí)，
ED=，QH=，
此時(shí)． …………………………………………2分
當(dāng)時(shí)，最大值．
∴y與x之間的函數(shù)解析式為
y的最大值是．……………………………………………………………………1分
（3）①如圖1，當(dāng)時(shí)，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
顯然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分
②如圖2，當(dāng)時(shí)，
若DE=DH，=，；  …………………………………………1分
若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，； ………………………1分
若ED=EH，則△EDH∽△HDA，
∴，，．  ……………………………………1分
∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形.
（其他解法相應(yīng)給分）

解析