Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，點D在BC的延長線上，BE⊥AD，交AC于M．
（1）求證：AD=BM；
（2）若∠DMB=105°，求證：AD+AM=BD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）通過ASA證得△ADC≌△BMC，則其對應邊相等：AD=BM；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應邊相等、對應角相等和已知條件判定∠DAC=∠MBC=30°．設CD=CM=a．則由“含30度角的直角三角形的性質”推知AD=2a，AC=BC=

3

a，AM=

3

a-a，故AD+AM=2a+

3

a-a=a+

3

a=CD+BC=BD，即AD+AM=BD．

解答：證明：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCM=90°．
又BE⊥AD，
∠AEB=∠BCM=90°．
又∵∠AME=∠BMC（對頂角相等），
∴∠DAM=∠MBC（等角的余角相等），
在△ADC與△BMC中，

∠DAC=∠MBC AC=BC ∠ACD=∠BCM

，
∴△ADC≌△BMC（ASA），
∴AD=BM；

（2）∵由（1）知，△ADC≌△BMC，
∴∠DAC=∠MBC，CD=CM．
∴在直角△CDM中，∠CDM=∠CMD=45°．
∵∠DMB=105°，
∴∠CMB=60°，
∴∠DAC=∠MBC=30°．
設CD=CM=a．
∴AD=2CD=2a，AC=BC=

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a，
∴AM=

3

a-a，
∴AD+AM=2a+

3

a-a=a+

3

a=CD=BC=BD，即AD+AM=BD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．