Question

如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點M，BD交AC于點N．
證明：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE．

Answer 1

證明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠CAE=∠BAD
在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE

（2）∵△ABD≌△ACE
∴∠ABN=∠ACE
∵∠ANB=∠CND
∴∠ABN+∠ANB=∠CND+∠NCE=90°
∴∠CMN=90°
即BD⊥CE．
分析：（1）要證明BD=CE，只要證明△ABD≌△ACE即可，兩三角形中，已知的條件有AD=AE，AB=AC，那么只要再得出兩對應邊的夾角相等即可得出三角形全等的結論．我們發(fā)現(xiàn)∠BAD和∠EAC都是90°加上一個
∠CAD，因此∠CAE=∠BAD．由此構成了兩三角形全等中的（SAS）因此兩三角形全等．
（2）要證BD⊥CE，只要證明∠BMC是個直角就行了．由（1）得出的全等三角形我們可知：
∠ABN=∠ACE，三角形ABC中，∠ABN+∠CBN+∠BCN=90°，根據(jù)上面的相等角，我們可得出∠ACE+∠CBN+∠BCN=90°，即∠ABN+∠ACE=90°，因此∠BMC就是直角了．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定等知識點，利用全等三角形得出線段相等和角相等是解題的關鍵．