Question

△ABC中，三邊長a、b、c滿足c=

a+b-9

+

9-a-b

+5

3

，且關(guān)于x的方程(5

3

+b)x2+2ax+(5

3

-b)=0有兩個相等的實數(shù)根．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次根式有意義的條件易得a+b=9，c=5

3

，再根據(jù)根的判別式得到△=4a²-4（5

3

+b）（5

3

-b）=0，變形有a²+b²=（5

3

）²，
則a²+b²=c²，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀；
（2）由a+b=9得到a²+2ab+b²=81，則75+2ab=81，所以ab=3，然后根據(jù)直角三角形面積公式計算即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

a+b-9≥0 9-a-b≥0

，
∴a+b=9，
∴c=0+0+5

3

=5

3

，
∵△=4a²-4（5

3

+b）（5

3

-b）=0，
∴a²+b²=（5

3

）²，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形；
（2）∵△ABC是以c為斜邊的直角三角形，
∴S_△ABC=

1

2

ab，
∵a+b=9，
∴a²+2ab+b²=81，
∴75+2ab=81，
∴ab=3，
∴S_△ABC=

3

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了二次根式有意義的條件以及勾股定理的逆定理．