Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連接EF、EO，若DE=4

3

，∠D=45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理得CE=

1

2

DE=2

3

，而弦DE平分半徑OA，所以O(shè)C=

1

2

OE，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠CEO=30°，則OC=

3

3

CE=2，所以O(shè)E=4；
（2）先利用圓周角定理得到∠EOF=2∠D=90°，然后扇形的面積公式和圖中陰影部分的面積=S_扇形EOF-S_△EOF進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵OA⊥DE，
∴CD=CE=

1

2

DE=2

3

，
∵弦DE平分半徑OA，
∴OC=

1

2

OE，
∴∠CEO=30°，
∴OC=

3

3

CE=

3

3

•2

3

=2，
∴OE=2OC=4，
即⊙O的半徑為4；
（2）∵∠EOF=2∠D=2×45°=90°，
∴圖中陰影部分的面積=S_扇形EOF-S_△EOF
=

90•π•42

360

-

1

2

•4²
=4π-8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了扇形的面積公式．