Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y=-x-1與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），半徑為1的⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向平移．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）求⊙B平移到與Y軸相切需要的時(shí)間t；
（3）若⊙B在開始平移的同時(shí)，直線AC繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角度在0度---360 度之間）．當(dāng)⊙B第一次與y軸相切時(shí)，直線AC也恰好與⊙B第一次相切．問(wèn)：直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

Answer 1

解：（1）對(duì)于直線AC：y=-x-1，令x=0，y=-1；令y=0，得x=-1，
∴OA=OC，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），∠CAO=45°；

（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），即OB=4，
∴⊙B平移到與Y軸相切需要的時(shí)間t==3（秒）；

（3）如圖，設(shè)直線AC與⊙B切于D點(diǎn)，連BD，
∴BD⊥AC，BD=1
∵⊙B第一次與y軸相切時(shí)，直線AC也恰好與⊙B第一次相切，
∴OB=1，
∴AB=2，
∴∠DAB=30°，
∴直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)了360°-30°-45°=285°，
而⊙B第一次與y軸相切時(shí)用了3秒，
∴直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)的度數(shù)==95°，
即直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)95度．
分析：（1）對(duì)于直線AC：y=-x-1，令x=0，y=-1；令y=0，得x=-1，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），∠CAO=45°；
（2）OB=4，⊙B的半徑為1，移動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到⊙B平移到與Y軸相切需要的時(shí)間t==3（秒）；
（3）設(shè)直線AC與⊙B相切于D點(diǎn)，連BD，根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)得到BD⊥AC，BD=1，OB=1，則AB=2，再根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得∠DAB=30°，即有直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)了360°-30°-45°=285°，然后除以時(shí)間3秒得到直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法．也考查了直線與圓相切的性質(zhì)以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．