Question

如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是弧AB上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），連AP，BP，過C作CM∥BP交PA的延長線于點(diǎn)M．
（1）求證：△ACM≌△BCP；
（2）求證：PC=PA+PB．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證明∠M=∠BPC，∠MAC=∠PBC，AC=BC，即可證明△ACM≌△BCP．
（2）證明PB=AM，PA+PB=PA+AM=PM；進(jìn)而證明PC=PM，問題立即可解決．

解答：證明：（1）如圖，∵四邊形APBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠MAC=∠PBC，∠ACB+∠APB=180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB=180°，
∴∠M=∠ACB；
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC；而∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠M=∠BPC；
在△ACM與△BCP中，

∠MAC=∠PBC ∠M=∠BPC AC=BC

，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
（2）∵△ACM≌△BCP，
∴PB=AM，PA+PB=PA+AM=PM；
∵∠M=∠BPC=60°，∠APC=∠ABC=60°，
∴△MPC為等邊三角形，
∴PC=PM，
∴PC=PA+PB．

點(diǎn)評(píng)：該命題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理及其推論、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．