Question

17．如圖，已知△ABC中，∠B=30°，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至△ADE，直線BC與直線DE交于點(diǎn)F，連結(jié)AF．
（1）若α=60°（如圖1），則∠AFB=120°；
（2）若α=90°（如圖2），則∠AFB=135°；
（3）若0°＜α＜120°（如圖3），猜想∠AFB的度數(shù)（用α表示），并證明你的結(jié)論；
（4）若120°＜α＜180°（如圖4），（2）中的猜想結(jié)論還成立嗎？若不成立，試探究∠AFB的度數(shù)，并寫出你的結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥DE于M，AN⊥BC于N，如圖1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DFB=60°，△ABC≌△ADE，則利用全等三角形的性質(zhì)得AM=AN，于是根據(jù)角平分線定理的逆定理可判斷AF平分∠DFC，即∠AFC=∠DFA-=60°，于是到∠AFB=2∠DFA=120°；
（2）當(dāng)α=90°（如圖2），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DFB=90°，同理可得AF平分∠DFC，即∠DFB=∠AFC=45°嗎，則∠AFB=∠DFB+∠DFA=135°；
（3）若0°＜α＜120°（如圖3），由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DFB=α，同理可得AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，則∠DFA=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°°-$\frac{1}{2}$α，所以∠AFB=∠DFB+∠DFA=90°+$\frac{1}{2}$α；
（4），如圖4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PFC=α，利用鄰補(bǔ)角定義得∠DFC=180°-α，同理可得AF平分∠DFC，即∠DFB=∠DFA，于是得到∠DFA=90°-$\frac{1}{2}$α

解答 解：（1）作AM⊥DE于M，AN⊥BC于N，如圖1，
∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度60°至△ADE，
∴∠DFB=60°，△ABC≌△ADE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠DFC，即∠AFC=∠DFA，
而∠DFC=180°-60°=120°，
∴∠AFB=2∠DFA=120°；
（2）若α=90°（如圖2），與（1）一樣可得∠DFB=90°，AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，
∴∠DFA=45°
∴∠AFB=∠DFB+∠DFA=90°+45°=135°；
故答案為120°，135°；
（3）若0°＜α＜120°（如圖3），∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$α．理由如下：
∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至△ADE，
∴∠DFB=α，
與（1）一樣可證明AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，
∴∠DFA=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°°-$\frac{1}{2}$α
∴∠AFB=∠DFB+∠DFA=α+90°-$\frac{1}{2}$α=90°+$\frac{1}{2}$α；
（4）、（3）中的猜想結(jié)論不成立．∠AFB=90°-$\frac{1}{2}$α．理由如下：
如圖4，∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至△ADE，
∴∠PFC=α，
∴∠DFC=180°-α，
同理可得AF平分∠DFC，即∠DFA=∠AFC，
∴∠AFB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了角平分線定理的逆定理．