Question

如圖所示，已知直線y=kx-1與拋物線y=ax²+bx+c交于A（-3，2）、B（0，-1）兩點，拋物線的頂點為C（-1，-2），對稱軸交直線AB于點D，連接OC．
（1）求k的值及拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線上的點，且以P、A、D三點構成的三角形是以線段AD為一條直角邊的直角三角形，請求出滿足條件的點P的坐標；
（3）在（2）的條件下所得的三角形是否與△OCD相似？請直接寫出判斷結果，不必寫出證明過程．

Answer 1

解：（1）∵直線y=kx-1經(jīng)過A（-3，2），
∴把點A（-3，2）代入y=kx-1得：
2=-3k-1，∴k=-1，
把A（-3，2）、B（0，-1）、C（-1，-2）代入y=ax²+bx+c
得，
∴，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-1．

（2）由得D（-1，0），即點D在x軸上，
且|OD|=|OB|=1，
∴△BDO為等腰直角三角形，
∴∠BDO=45°，
①過點D作l₁⊥AB，交y軸于E，交拋物線于P₁、P₂兩點，連接P₁A、P₂A，
則△P₁AD、△P₂AD都是滿足條件的直角三角形，
∵∠EDO=90°-∠BDO=45°，
∴|OE|=|OD|=1，
∴點E（0，1），
∴直線l₁的解析式為y=x+1，
由
解得：或，
∴滿足條件的點為P₁（-2，-1）、P₂（1，2）；
②過點A作l₂⊥AB，交拋物線于另一點P₃，連接P₃D，則△P₃AD是滿足條件的直角三角形，
∵l₁∥l₂且l₂過點A（-3，2）
∴l(xiāng)₂的解析式為y=x+5，
由
解得：或（舍去），
∴P₃的坐標為（2，7），
綜上所述，滿足條件的點為P₁（-2，-1）、P₂（1，2）、P₃（2，7）．

（3）∵P₁（-2，-1），A（-3，2），D（-1，0），
∴P₁D=，AD=2；
而OC=1，CD=2，即P₁D：AD=OC：CD，
又∵∠OCD=∠P₁AD=90°，
∴△P₁AD∽△OCD，
同理可求得△P₂AD與△OCD不相似，△P₃AD與△OCD不相似；
故判斷結果如下：
△P₁AD∽△OCD，
△P₂AD與△OCD不相似；
△P₃AD與△OCD不相似．
分析：（1）將點A的坐標代入直線AB的解析式中，即可確定k的值；根據(jù)A、B的坐標，可用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，易求得D點坐標，可得OB=OD，即△OBD是等腰直角三角形；若△PAD是以AD為直角邊的直角三角形，那么可分兩種情況：
①以D為直角頂點，過D作直線l₁⊥AD，直線l₁與拋物線的交點即為所求的P點，設直線l₁與y軸的交點為E，由于△ODB是等腰直角三角形，故△ODE也是等腰直角三角形，即OD=OE，由此可得E點坐標，進而可根據(jù)D、E的坐標求出直線l₁的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可得P點坐標；
②以A為直角頂點，過A作直線l₂⊥AD，同理直線l₂與拋物線的交點也符合P點的要求，由于直線l₁∥直線l₂，根據(jù)直線l₂的斜率和A點的坐標，即可求出直線l₂的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式，可得P點的坐標．
（3）根據(jù)C、D坐標，易得OC、CD的長，若（2）的直角三角形與△OCD相似，那么它們的直角邊應該對應成比例，可先求出（2）中直角三角形的直角邊長，然后再進行判斷．
點評：此題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法、相似三角形的判定和性質等知識，（2）題中，一定要根據(jù)直角三角形的不同直角頂點分類討論，以免漏解．