Question

15．已知a=4，b，c是方程x²-5x+6=0的兩個根，則以a、b、c為三邊的三角形面積是$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 先利用因式分解法解方程得到b、c的值為2、3，如圖，△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，作AD⊥BC于D，設BD=x，則CD=4-x，利用勾股定理得到2²-x²=3²-（4-x）²，解得x=$\frac{11}{8}$，則可計算出AD的長，然后根據三角形面積公式求解．

解答 解：x²-5x+6=0，
（x-2）（x-3）=0，
x-2=0或x-3=0，
所以x₁=2，x₂=3，
如圖，△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，作AD⊥BC于D，設BD=x，則CD=4-x，
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²=2²-x²，
在Rt△ACD中，AD²=AC²-CD²=3²-（4-x）²，
2²-x²=3²-（4-x）²，解得x=$\frac{11}{8}$，
所以AD=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{11}{8}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{8}$，
所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3\sqrt{15}}{8}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了三角形面積公式．