Question

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=2，點E是BC的中點，點P是對角線BD上的動點，則PE+PC的最小值是

1. A.
   2
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，得出BC的長度，作出E關于BD的對稱點E′，轉(zhuǎn)化為線段長度的問題，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出△ABE′為等邊三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長．
解答：解：過點A作AF⊥BC于點F，連接AE，AC交BD于點P，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=2，點E是BC的中點，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=1，AF==，F(xiàn)C=3，
同理可得出：BC=AD+2=4，
∵BD是∠ABC的平分線．
作E關BD的對稱點E′與A點重合，
則PE=PE′，
此時，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即為PE+PC的最小值．
∵∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE為正三角形，EE′=2，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′==2．
故選；C．
點評：此題考查了軸對稱---最短路徑問題，內(nèi)容涉及等腰梯形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理，綜合性較強．