Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，其圖像頂點為D， OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）填空：點A的坐標(    ,    ) 、點B的坐標(     ,    )；

（2）求二次函數(shù)及直線CD的解析式；

（3）直線CD與x軸交于點E，是否存在點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）A（－1，0）、B( 3 , 0 );                          ………………2分

   （2）∵點A、B在二次函數(shù)的圖象上

          ∴得：

          ∴二次函數(shù)解析式為                  ………4分

∵          

            ∴ 頂點D（1，4）                           ………………5分

設直線CD的解析式為：

              得：

   ∴直線CD的解析式為：             ………………7分

       （3） 當時，

                   解得：

             ∴ E（－3，0）                           ………………8分

           存在點F， 使以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

       有三種情況：

①     以AC、AE為鄰邊：

則 

     ∵

     ∴ F（—2，3）                    ………………9分

②     以EC、AE為鄰邊：

則  

     ∵

     ∴ F（2，3）                     ………………10分

③     以AC、EC為鄰邊：

過F作  則△EGF≌△AOC

∴ 

∵ F在第三象限

∴ F（－4，-3）                ………………11分

綜上所述：點F的坐標為（2，3）或（—2，3）或（－4，-3） ………12分