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如圖，已知正方形ABCD對角線交于點O，點P、點Q分別是BC、CD上的點，DP⊥AQ．求證：OQ⊥OP．

證明：∵DP⊥AQ，
∴∠DAQ+∠DQA=90°，∠CDP+∠CPD=90°，∠DQA+∠CDP=90°
∴∠DAQ=∠CDP
又∵AD=DC，∠ADC=∠DCB=90°
∴△ADQ≌△DCP（ASA）
∴DQ=CP
由正方形性質可知OD=OC，∠ODQ=∠OCP=45°
∴△DOQ≌△COP（SAS）
∴∠1=∠2
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°
∴OP⊥OQ
分析：由DP⊥AQ易證∠DAQ=∠CDP，進而證明△ADQ≌△DCP得DQ=CP，進而證明△DOQ≌△COP得∠1=∠2，即可得∠2+∠3=90°，即可證明OP⊥OQ．
點評：本題考查了正方形各邊相等、各內角相等的性質，考查了全等三角形的判定及全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中正確的求證△ADQ≌△DCP得DQ=CP是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知正方形ABCD的邊AB與正方形AEFM的邊AM在同一直線上，直線BE與DM交于點N．求證：BN⊥DM．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•北碚區(qū)模擬）如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，點F是CD延長線上一點，連接EF，若BE=DF，點P是EF的中點．
（1）求證：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD，點E在BC邊上，將△DCE繞某點G旋轉得到△CBF，點F恰好在AB邊上．
（1）請畫出旋轉中心G （保留畫圖痕跡），并連接GF，GE；
（2）若正方形的邊長為2a，當CE=
a
a
時，S△FGE=S△FBE；當CE=
2a+
2
a
2
 或EC=
2a-
2
a
2
2a+
2
a
2
 或EC=
2a-
2
a
2
 時，S△FGE=3S△FBE．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的對角線交于O，過O點作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF的值是（　　）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上的一點，過點A作AG⊥BE，垂足為G，AG交BD于點F．
（1）試說明OE=OF；
（2）當AE=AB時，過點E作EH⊥BE交AD邊于H．若該正方形的邊長為1，求AH的長．

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