Question

如圖，O為四邊形ABCD的對角線BD的中點，過點O作一條直線分別與AB、CD交于點M、N，點E、F在直線MN上，且OE=OF，AE∥CF，AE=CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：首先連接BE、DF、ED、BF，根據(jù)BO=DO，EO=FO可得四邊形EBFD是平行四邊形，進而得到EB∥DF，EB=DF，DE=EF，DE∥BF，再證明△AEB≌△CFD可得AB=CD，再證明△AED≌△CFB可得AD=BC，然后根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得到結論．

解答：證明：連接BE、DF、ED、BF，
∵BO=DO，EO=FO，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴EB∥DF，EB=DF，DE=EF，DE∥BF，
∴∠2=∠1，
∵AE∥CF，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEF+∠1=∠CFE+∠2，
即∠AEB=∠CFD，
在△AEB和△CFD中，

AE=CF ∠AEB=∠CFD EB=DF

，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AB=CD，
∵ED∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AEF-∠DEF=∠CFE-∠BFE，
即∠3=∠4，
在△AED和△CFB中，

AE=CF ∠3=∠4 ED=BF

，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．