Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O．
（1）一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．

Answer 1

解：(1) ∵△A′B′O是由△ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90⁰得到的，
且A（0，1），B（2，0），O（0，0）
∴。
設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，
∴，解之得。
∴滿足條件的拋物線的解析式為。
（2）∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，
設(shè)，則，P點坐標(biāo)滿足。
連接PB，PO，PB′。

∴

。
假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，
則，即，解之得，此時。
∴P（1，2）。
∴存在點P（1，2），使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍。
（3）四邊形PB′A′B為等腰梯形。它的性質(zhì)有：
①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；
②等腰梯形對角線相等；
③等腰梯形上底與下底平行；
④等腰梯形兩腰相等。
答案不唯一，上面性質(zhì)中的任意2個均可。

解析