Question

如圖，⊙O的半徑為6，點(diǎn)C在⊙O上，將圓折疊，使點(diǎn)C與圓心O重合，折痕為AB且點(diǎn)A、B在⊙O上，E、F是AB上兩點(diǎn)（點(diǎn)E、F不與點(diǎn)A、B重合且點(diǎn)E在點(diǎn)F的右邊），且AF=BE．
（1）判定四邊形OECF的形狀；
（2）當(dāng)AF為多少時(shí)，四邊形OECF為正方形？

Answer 1

解：（1）四邊形OEFC為菱形，理由為：
連接OC，交AB于點(diǎn)D，
由折疊的性質(zhì)得到OD=CD，OC⊥AB，
則D為AB的中點(diǎn)，即AD=BD，
∵AF=BE，
∴AD-AF=BD-BE，即FD=ED，
∴四邊形OEFC為平行四邊形，
∵FD=ED，OD⊥EF，
∴OE=OF，
則四邊形OEFC為菱形；
（2）∵OD=DC=OC=3，
∴在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD==3，
要使四邊形OEFC為正方形，必須FD=OD=3，
則此時(shí)AF=AD-FD=3-3．
分析：（1）四邊形OECF為菱形，連接OC，交AB于點(diǎn)D，先由折疊的性質(zhì)得到OD=CD，且OC垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，利用等式的性質(zhì)得到FD=ED，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到OEFC為平行四邊形，再由FD=ED，且OD垂直于EF，得到OE=OF，即可得到四邊形OECF為菱形；
（2）四邊形OEFC要為正方形，必須FD=ED=OD=CD，由半徑求出OD的長，得到DF的長，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出AD的長，由AD-DF即可求出此時(shí)AF的長．
點(diǎn)評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，平行四邊形、菱形、正方形的判定，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．