Question

如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，作AC的垂直平分線，分別交于AC于G，交CD于H，連接AH．求證：
（1）AB=AH；
（2）CD=AB+BD．

Answer 1

分析：（1）由HG為AC的垂直平分線，可得HA=HC，又由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠C=∠CAH，則可得∠AHB=2∠C，又由在△ABC中，∠B=2∠C，易證得∠AHB=∠B，則可得AH=BH；
（2）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易得HD=BD，繼而可得CD=AB+BD．

解答：證明：（1）∵HG為AC的垂直平分線，
∴HA=HC，
∴∠C=∠CAH，
∴∠AHB=∠C+∠CAH=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH；

（2）∵AD⊥HB，AH=AB，
∴HD=DB，
∵AH=HC，AH=AB，
∴AB=CH，
∴CD=CH+HD=AB+DB．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．