Question

20．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{3}{2x}$的圖象上有一動點A，連接AO并延長交圖象的另一支于點B，在第二象限內有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上運動，tan∠CAB=2，則關于x的方程x²-5x+k=0的解為x₁=-1，x₂=6．

Answer 1

分析 連接OC，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，通過角的計算找出∠AOE=∠COF，結合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質得出$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$，再由tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2，可得出CF•OF的值，把k的值代入方程，求出x的值即可．

解答 解：連接OC，過點A作AE⊥y軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，如圖所示，
∵由直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{2x}$的對稱性可知A、B點關于O點對稱，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$，
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE•OE=$\frac{3}{2}$，CF•OF=|k|，
∴k=±6．
∵點C在第二象限，
∴k=-6，
∴關于x的方程x²-5x+k=0可化為x²-5x-6=0，解得x₁=-1，x₂=6．
故答案為：x₁=-1，x₂=6．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的性質以及相似三角形的判定及性質，解題的關鍵是求出CF•OF=6．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，巧妙的利用了相似三角形的性質找出對應邊的比例，再結合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征找出結論．