Question

已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB、BC的長是關(guān)于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0的兩個實數(shù)根．
（1）試說明：無論m取何值方程總有兩個實數(shù)根
（2）當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
（3）若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),根的判別式,菱形的判定

專題：

分析：（1）利用根的判別式求出△的符號進(jìn)而得出答案；
（2）利用菱形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法得出答案；
（3）將AB=2代入方程解得m=

5

2

，進(jìn)而得出x的值．

解答：（1）證明：∵關(guān)于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，△=m²-2m+1=（m-1）²
∵無論m取何值（m-1）²≥0
∴無論m取何值方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC即（m-1）²=0，
∴m=1代入方程得：
∴x2-x+

1

4

=0
∴x₁=x₂=

1

2

，
即菱形的邊長為

1

2

；

（3）解：將AB=2代入方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，
解得：m=

5

2

，
將m=

5

2

代入方程，x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，
解得：x₁=2，x₂=

1

2

，
即BC=

1

2

，
故平行四邊形ABCD的周長為5．

點評：此題主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性質(zhì)和根的判別式等知識，得出m的值是解題關(guān)鍵．