Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，AC為⊙O₁的直徑，CA、CB的延長線分別交⊙O₂于點D、E，AC=6cm，BE=11cm，AD=BC．求：
（1）BC的長；
（2）∠DEC的余弦值；
（3）兩圓⊙O₁和⊙O₂的圓心距．

Answer 1

解：（1）設BC=xcm，則AD=xcm，由切割線定理的推論知CA•CD=CB•CE；
6（6+x）=x（x+11），
即x²+5x-36=0，解得x₁=4，x₂=-9（舍去）
∴BC=4cm；

（2）連接AB；∵AC是⊙O₁的直徑，
∴CB⊥AB；
∴AB==；
又∵四邊形ABED是圓內接四邊形，
∴∠CAB=∠DEC，
∴cos∠DEC=cos∠CAB=；

（3）連接AE；∵AB⊥BC，
∴∠ABE=90°；
∴AE是⊙O₂的直徑，O₁，O₂分別為AC、AE的中點．
∴O₁O₂=CE=（4+11）=（cm）．
分析：（1）已知了AC、BE的長，可直接由切割線定理求出BC的長；
（2）連接AB；此時四邊形ABED是⊙O₂的內接四邊形，則∠CAB=∠E，因此只需在Rt△ABC中求得∠BAC的余弦值即可．
（3）連接AE，易知∠ABE=90°，由圓周角定理可得AE是⊙O₂的直徑，那么O₁O₂即為△ACE的中位線，在（1）中求得了BC的長，即可得到EC的長，根據(jù)三角形中位線定理即可求出兩圓的圓心距．
點評：此題主要考查了圓周角定理、切割線定理、圓內接四邊形的性質、三角形中位線定理以及解直角三角形的應用等知識．