Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，若∠A=90°，AD=CD=6，將一等腰直角三角板的一個銳角的頂點與點C重合，將此三角板繞著點C旋轉時，三角板的兩邊分別交AD邊于Q，交直線AB于P，若PQ=5，則AP的長為________．

Answer 1

3或4
分析：作CE⊥AB，F(xiàn)C⊥QC，CE、CF交AB的延長線于點E、F，如圖，證明△QEC≌△FEC和△QCP≌△FCP，則可得QD=FE，QP=PF，設AP=x，用x表示出QD、PE，列出方程，解答出即可．
解答：解：如圖，作CE⊥AB，F(xiàn)C⊥QC，CE、CF交AB的延長線于點E、F，
∴∠QCF=90°，∠PCF=45°，
∵∠A=90°，AD=CD=6，
∴四邊形AECD是正方形，
∵∠QCP=45°，
∴∠QCD+∠PCE=∠PCE+∠FCE=45°，
∴∠QCD=∠FCE，
又∵DC=ED，∠QDC=∠FEC=90°，
∴△QEC≌△FEC，
∴QC=FC，QD=FE，
又∵CP=CP，
∴△QCP≌△FCP（SAS），
∴PQ=PF=5，
設AP=x，則PE=6-x，AQ=，DQ=6-，
∵PF=PE+EF，
∴5=6-x+（6-），
解得，x=3或x=4．
故答案為：3或4．
點評：本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質和勾股定理，作輔助線，利用旋轉的性質構建全等三角形，是解答本題的思路．