Question

如圖，直線y=kx-1與x軸、y軸分別交與B、C兩點，且OB、OC（OB＜OC）分別是一元二次方程2x²-3x+1=0的兩根．
（1）求B點的坐標；
（2）若點A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個動點．
①當(dāng)點A運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)S=

1

2

時點A的坐標；
②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△PAB是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）利用因式分解法解一元二次方程，然后寫出點B的坐標即可；
（2）①把點B的坐標代入直線解析式求出k值，從而得到直線解析式，再利用三角形的面積公式列式整理即可得到S與x的關(guān)系式，再把S=

1

2

代入關(guān)系式計算即可得解；
②根據(jù)點A的坐標利用勾股定理列式求出AB的長，再分BP=AB，AB=AP，AP=BP三種情況分別求解即可．

解答：解：（1）2x²-3x+1=0，
（2x-1）（x-1）=0，
2x-1=0，x-1=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=1，
∵OB＜OC，
∴點B（

1

2

，0）；

（2）把點B代入y=kx-1得，

1

2

k-1=0，
解得k=2，
所以，直線解析式為y=2x-1，
①△AOB的面積S=

1

2

×

1

2

×（2x-1）=

1

2

x-

1

4

，
即S=

1

2

x-

1

4

，
當(dāng)S=

1

2

時，

1

2

x-

1

4

=

1

2

，
解得x=

3

2

，
此時，y=2×

3

2

-1=2，
所以，點A的坐標為（

3

2

，2）；
②由勾股定理得，AB=

( 1 2 - 3 2 )2+(0-2)2

=

5

，
BP=AB時，若點P在點B的左邊，則OP=

5

-

1

2

，
所以，點P（

1

2

-

5

，0），
若點P在點B的右邊，則OP=

5

+

1

2

，
所以，點P（

5

+

1

2

，0）；
AB=AP時，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，OP=

1

2

+2×（

3

2

-

1

2

）=

5

2

，
所以，點P（

5

2

，0）；
AP=BP時，由勾股定理得，BC=

( 1 2 )2+12

=

5

2

，
∴cos∠ABP=cos∠OBC=

1 2

5 2

=

5

5

，
由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，BP=

1

2

AB÷cos∠ABP=

5

2

÷

5

5

=

5

2

，
所以，OP=

1

2

+

5

2

=3，
點P（3，0），
綜上所述，x軸上存在點P（

1

2

-

5

，0）或（

5

+

1

2

，0）或（

5

2

，0）或（3，0），使△PAB是等腰三角形．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了解一元二次方程，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難點在于（2）②根據(jù)等腰三角形的腰長的不同分情況討論．