Question

已知⊙O的半徑為3，⊙P與⊙O相切于點A，經(jīng)過點A的直線與⊙O、⊙P分別交于點B、C，cos∠BAO=

1

3

，設(shè)⊙P的半徑為x，線段OC的長為y．
（1）求AB的長；
（2）如圖，當⊙P與⊙O外切時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）當∠OCA=∠OPC時，求⊙P的半徑．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用cos∠BAO=

AD

OA

=

1

3

，得出AB=2AD進而得出答案；
（2）首先得出PC∥OB，進而求出

AC

AB

=

PA

AO

，得出OC與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）當⊙P與⊙O外切時，根據(jù)∠BOA=∠OCA，∠CAO=∠POC，則△OAC∽△OCP，得出

OA

OC

=

OC

OP

．

解答：解：（1）在⊙O中，作OD⊥AB，垂足為D，
在Rt△OAD中，cos∠BAO=

AD

OA

=

1

3

，
∴AD=

1

3

AO=1，
∴BD=AD=1，
∴AB=2AD=2．

（2）連接OB、PA、PC，
∵⊙P與⊙O相切于點A，
∴點P、A、O在一直線上．
∵PC=PA，OA=OB，
∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA，
∴PC∥OB．
∴

AC

AB

=

PA

AO

，
∴AC=

PA•AB

AC

=

2x

3

，
∵OD²=OA²-AD²=3²-1²=8，CD=AD+AC=

2

3

x+1，
∴OC=

OD2+CD2

=

( 2 3 x+1)2+8

，
∴y=

1

3

4x2+12x+81

，（定義域為x＞0）．

（3）當⊙P與⊙O外切時，
∵∠BOA=∠OCA，∠CAO=∠POC，
∴△OAC∽△OCP．
∴

OA

OC

=

OC

OP

，
∴OC²=OA•OP，
∴

1

9

（4x²+12x+81）=3（3+x），
∴x₁=0（不符合題意，舍去），x₂=

15

4

，
∴這時⊙P的半徑為

15

4

，
當⊙P與⊙O內(nèi)切時，
∴

2x

3

=

9

2

，
解得：x=

27

4

，
∴這時⊙P的半徑為

27

4

，
∴⊙P的半徑為

15

4

或

27

4

．

點評：此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．